¿Qué son los conjuntos matemáticos y los diagramas de Venn?

Aprenda sobre elementos, notación de generador de conjuntos, conjuntos de intersección y diagramas de Venn Matemáticamente, un conjunto es una colección o lista de objetos.

Aprenda sobre elementos, notación de generador de conjuntos, conjuntos de intersección y diagramas de Venn

Matemáticamente, un conjunto es una colección o lista de objetos. Los conjuntos no solo se componen de números, sino que pueden contener cualquier cosa que incluya:

  • la comida en tu refrigerador;
  • los planetas en el sistema solar;

Aunque los conjuntos pueden contener cualquier cosa, a menudo se refieren a números que se ajustan a un patrón o están relacionados de alguna manera, como:

  • conjunto de números pares positivos menores que 10: (0, 2, 4, 6, 8);
  • conjunto de factores para el número 12: (1, 2, 3, 4, 6, 12).

Establecer notación

Los objetos en un conjunto se denominan elementos y la siguiente notación o convenciones se utilizan con conjuntos:

  • Se utilizan letras mayúsculas para identificar conjuntos, como J, E, o F ;
  • Se usan letras minúsculas o números para elementos de un conjunto;
  • Las llaves {} denotan una lista de elementos en un conjunto;
  • Las comas se utilizan para separar elementos del conjunto.

Entonces, ejemplos de notación de conjunto serían:

J = {Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno}

E = {0, 2, 4, 6, 8};

F = {1, 2, 3, 4, 6, 12};

Orden de elementos y repetición

Los elementos en un conjunto no tienen que estar en ningún orden en particular, por lo que el conjunto J anterior también podría escribirse como:

J = {Saturno, Júpiter, Neptuno, Urano}

o

J = {Neptuno, Júpiter, Urano, Saturno}

La repetición de elementos tampoco cambia el conjunto, así que:

J = {Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno}

y

J = {Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno, Júpiter, Saturno}

son el mismo conjunto porque ambos contienen solo cuatro elementos diferentes: Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno.

Conjuntos y elipses

Si hay un infinito – o ilimitado – número de elementos en un conjunto, se utilizan puntos suspensivos (…) para mostrar que el patrón del conjunto continúa para siempre en esa dirección.

Por ejemplo, el conjunto de números naturales comienza en cero, pero no tiene fin, por lo que puede escribirse en la forma:

{0, 1, 2, 3, 4, 5, }

Otro conjunto especial de números que no tiene fin es el conjunto de enteros. Sin embargo, dado que los enteros pueden ser positivos o negativos, el conjunto usa puntos suspensivos en ambos extremos para mostrar que el conjunto continúa para siempre en ambas direcciones:

{, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, }

Otro uso para las elipses es llenar el centro de un conjunto grande como:

{0, 2, 4, 6, 8, …, 94, 96, 98, 100}

Los puntos suspensivos muestran que el patrón, solo números pares, continúa a través de la sección no escrita del conjunto.

Conjuntos especiales

Los conjuntos especiales que se usan con frecuencia se identifican mediante letras o símbolos específicos. Éstas incluyen:

  • Ø o {} – el conjunto vacío – un conjunto que no contiene elementos ;
  • U – el conjunto universal – un conjunto que contiene todos los elementos relativos a una definición de conjunto particular ;
  • Z : el conjunto de todos los enteros: Z = {, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 , };
  • N : números naturales (enteros positivos): N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, }.

Lista vs. Métodos descriptivos

Escribir o enumerar los elementos de un conjunto, como el conjunto de planetas internos o terrestres en nuestro sistema solar, se conoce como notación de lista o método de lista .

T = {mercurio, venus, tierra, marte}

Otra opción para identificar los elementos de un conjunto es utilizar el método descriptivo , que utiliza una breve declaración o nombre para describir el conjunto, como por ejemplo:

T = {los planetas terrestres}

Notación Set-Builder

Una alternativa a la lista y a los métodos descriptivos es usar notación de generador de conjuntos , que es un método abreviado que describe la regla que siguen los elementos del conjunto (la regla que los hace miembros de un conjunto particular) .

La notación de generador de conjuntos para el conjunto de números naturales mayor que cero es:

x

o

{x: x ∈ N, x > 0}

En la notación de generador de conjuntos, la letra «x» es una variable o marcador de posición, que se puede reemplazar con cualquier otra letra.

Personajes abreviados

Los caracteres abreviados que se usan con la notación de generador de conjuntos incluyen:

  • La barra vertical o dos puntos ( | o : caracteres) son separadores que se leen como de tal manera que;
  • El épsilon en minúscula (carácter ) se lee como es un elemento de;
  • El carácter se lee como no como un elemento de.

Entonces, x ∈ N, x > 0 se leerían como:

«El conjunto de todos x , tal que x es un elemento de el conjunto de números naturales yx es mayor que 0.»

Conjuntos y diagramas de Venn

Un diagrama de Venn, a veces denominado set diagram , se usa para mostrar las relaciones entre los elementos de diferentes conjuntos.

En la imagen de arriba, la sección superpuesta del diagrama de Venn muestra la intersección de los conjuntos E y F (elementos comunes a ambos conjuntos).

Debajo de eso se enumera la notación del generador de conjuntos para la operación (la «U» invertida significa intersección):

E ∩ F = x ∈ E , x ∈ F

El borde rectangular y la letra U en la esquina del diagrama de Venn representan el conjunto universal de todos los elementos considerados para esta operación:

U = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}

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